استخدام محاكاة مونت كارلو للمقارنة بين طرق تقدير المعلمات والموثوقية في التوزيعات الاحتمالية

اسم الكاتب (المؤلف) د. حازم غضيب كالط
الكلية: التربية للعلوم الصرفة

تعتبر المحاكاة طريقة توفر على الباحثين الكثير من الوقت والجهد وذلك من خلال استخدام الحاسوب لتكوين المشاهدات المطلوبة دون اللجوء للحصول عليها ميدانياً وبدون الاخلال بالنتائج المطلوبة ودقتها. ومن اهم طرائق المحاكاة واكثرها شيوعاً في الإحصاء الرياضي هي طريقة مونت كارلو (Mont Carlo) التي تستعمل في توليد مشاهدات لمعظم التوزيعات الاحتمالية.
ومن بين أهم التطبيقات لطريقة مونت كارلو في مجال الإحصاء هي المقارنة بين طرق التقدير للمعلمات وللموثوقية من خلال محاكاة آلاف البينات المولدة بهذه الطريقة وفقاً للتوزيع المتبع والمراد تقدير معلماته والموثوقية له. ويمكننا وصف مراحل محاكاة مونت كارلو كالاتي:
المرحلة الأولى: اختيار القيم الافتراضية لمعلمات التوزيع، وقد يتم اختيارها بحيث تكون قيمها قريبة من قيم المعلمات للبيانات الحقيقية. ويمكن تعدد اختيار القيم الافتراضية لمعلمات التوزيع قيد الدراسة للحصول على عدة نماذج وترتيبها ضمن جدول معين ومن ثم احتساب القيم الحقيقية لدالة الموثوقية وفقاً للمعادلات هذه الدوال في الجانب النظري.
المرحلة الثانية: تطبيق آلية طريقة مونت كارلو حسب الخطوات التالية: –
1- توليد الاعداد العشوائية مثل y التي تتبع التوزيع المنتظم على الفترة [0,1] .
2- تحويل العدد العشوائي المنتظم من خلال المعادلتين الآتيتين:
y = F(x)
x = F-1(y)
للحصول على متغير عشوائي x يتوزع حسب التوزيع قيد الدراسة حيث F(x) هي الدالة التجميعية لتوزيع الدراسة. ولابد من الاشارة الى ان طريقة مونت كارلو تتناول عدد كبير من العينات التي يفترض ان تكون فيها المشاهدات مستقلة، وتمتلك أقل تباين.
المرحلة الثالثة: تقدير المعلمات ودالة الموثوقية من خلال برمجة طرق التقدير المراد المقارنة بينها وهي كما يأتي:
1- باستخدام بيانات العينات المولدة في المرحلة السابقة يتم تقدير المعلمتين (في حال لدينا معلمتان نريد تقديرهما) ,اي حساب وذلك من خلال المعادلة الخاصة بطرق التقدير في الجانب النظري ومن ثم إيجاد مقدر الموثوقية بإستخدام المعادلة الخاصة بها حسب نوع التوزيع الاحتمالي.
2- تكرار الخطوات أعلاه (تكرار التجربة) N من المرات, أحيانا تصل الى الاف المرات .
3- إيجاد متوسط مربعات الخطأ لمقدرات المعلمات والموثوقية كما يأتي:

المرحلة الرابعة: المقارنة ما بين طرائق التقدير وذلك باستخدام المعيار الإحصائي متوسط مربعات الخطأ (MSE) او متوسط طول حدود الثقة المستخرجة في المراحل السابقة، وترتيب النتائج ضمن جداول وعندها تكون الطريقة ذات MSE الأقل قيمة هي الطريقة الأفضل من الطريقة ذات MSE الأعلى قيمة منها.
وعادتا يتم الحصول على نتائج التحليل باعتماد برنامج يكتب بلغة (MATLAB) او لغات البرمجة الأخرى، من اجل اختصار الجهد والوقت لتنفيذ خطوات هذه الطريقة. علما انه كلما زاد عدد مرات التكرار N تكون النتائج أكثر دقة.
المصادر:
1 – امير حنا هرمز، “الإحصاء الرياضي”، مديرية دار الكتب للطباعة والنشر، جامعة بغداد، العراق، (1989).
2- J.A. Barker and R.O. Watts. Structure of water: A Monte Carlo calculation. Chem.Phys. Lett., 3:144–145, (1969)
3- R. Najafabadi and S. Yip. Observation of finite-temperature strain transformation (f.c.c. $ b.c.c.) in Monte Carlo simulation of iron. Scripta Metall., 17:1199–1204, (1983)