الكسوريات fractal

م. احسان مزهر رشيد م. باحث كوثر عبد العباس حسون
كلية التربية للعلوم الصرفة / قسم الرياضيات

الكسوريات هي اشكال مثيرة لاهتمام المشتغلين بعلم الرياضيات، فضلاً عن غيرهم. والمجموعة الكسورية هي مجموعة جزئية من الفضاء الاقليدي مع بعد كسوري (fractal dimension) بمعنى أن البعد للمجموعة ليس عدداً صحيحاً كما هو في R مثلا ، وهي مجموعات ذات نمط لا ينتهي (يتكرر النمط بشكل لانهائي) وتمتاز بأنها محدودة (bounded) ، مغلقة (closed)، مثالية (perfect) (جميع نقاطها نقاط غاية لها)، (منفصلة كلياً) (totally disconnected) (لا تحتوي على فترة مفتوحة غير خالية)، غير معدودة (uncountable) وذات قياس صفري (set of measure zero) . واجتماع جميع هذه الصفات سيجعل من المجموعة مثيرة للاهتمام بأشكالها المميزة.
وكمثال أول على الكسوريات مجموعة كانتور التثليثية حسب البادئ (initiator) قطعة المستقيم (كفترة) ثم نحصل على المولد (generator) من حذف الفترة فيبقى (قطعتين N=2) طول كل منهما . , … وهكذا نستمر بصورة لانهائية فتقاطع جميع هذه المجموعات هي المجموعة المطلوبة ، والشكل التالي يبين أول ست خطوات من عملية إنشاء مجموعة كانتور التثليثية (تراب كانتور الثلاثي) , Cantor Middle-Third set The Triadic Cantor Dust (1883)

وهناك نوعين من الخوارزميات لتكوين المجموعات الكسورية هما المحددة Deterministic و العشوائية Random باستخدام انظمة الدوال التكرارية Iterated function systems (IFS) فالمحددة DFIS والعشوائية RFIS حيث تكوينها يتم عن طريق سلسلة من الدوال. ويستخدم الحاسوب في طريقة RIFS . فمثلا في تكوين منحنى كوخ Koch Curve نحتاج إلى ثلاث عمليات هي التدوير بزاوية ، تقليص بمقدار وتزحيف بمقدار e بالاتجاه الافقي.

References المصادر
[1] Discrete Chaos, second edition, Saber N. Elaydi, Chpman & Hall/CRC, 2008.
[2] Measure, Topology, and Fractal Geometry, second edition, Gerald Edgar, Springer, 2008.
[3] Assouad Dimension and Fractal Geometry, Jonathan M. Fraser, Cambridge University Press, 2021.